Полярный метод определения координат
Перейти к содержимому

Полярный метод определения координат

  • автор:

Метод полярных координат

Данным методом координаты пикетной точки находятся на луче, опущенном из начального пункта под некоторым углом от базиса построения и на указанном от начального пункта (точка стояния) расстоянии.

Программа позволяет определять как плановое положение точки, так и высотное. Вид съемки выбирается из выпадающего списка, который расположен в правом верхнем углу диалогового окна.

С учетом выбранного вида съемки, открываются / закрываются поля таблицы для ввода данных

При планово-высотной съемке необходимо устанавливать «Тип применяемого прибора» (пункт меню Измерения Измерение мер линий )

Это очень важно при вычислении горизонтального проложения.

Рекомендуемая последовательность выполнения операций:

Выберите из выпадающего списка (список точек хода) нужные Вам точки стояния и наведения. При этом автоматически заполнятся две обязательные строки таблицы. Координаты и отметки высот точек стояния и наведения выбираются из соответствующих колонок задачи «Построение теодолитного хода» или берется результат решения прямой геодезической задачи.

Если Вы хотите заполнить эти две строки данными, которые не рассчитывались в задаче «Построение теодолитного хода», то имена этих точек можно ввести вручную и выбрать(щелкнуть на другом любом компоненте, любой строке таблицы). Затем заполнить данными эти строки:

— Координаты точки стояния;

— Координаты точки наведения или дирекционный угол нулевого отсчета теодолита; (Если дирекционный угол начального (отвязочного) направления в прямой геодезической задаче определен с точки стояния, т.е. для прибора, ориентированного на север он равен 0 градусов, то данные по этому углу вводятся в первую строку «п.нав.», иначе, если дирекционный угол определен на точку стояния, т.е. для прибора, ориентированного на север он равен 180 градусов, то этот угол вводим во вторую строку «п.ст.».)

Положение в горизонтальной плоскости снимаемой точки местности относительно опорной линии определяется путем измерения горизонтального угла и расстояния D, по которому затем вычисляется его горизонтальная проекция d.

Задав Количество пикетов , в строку на каждый пикет вводят:

— измеренный горизонтальный угол при вычислениях исправляется (уменьшается) на величину установки лимба, которая вводится в соответствующее окошко;

— вертикальный угол правый или левый);

— измеренное расстояние или горизонтальное проложение в соответствующие колонки.

При вычислении горизонтального проложения, данные берутся из колонок ‘D(м)-измеренное расстояние’ и ‘Верт.угол’. При отсутствии одного из параметров, предполагается, что горизонтальное проложение рассчитывать не надо и оно введено в колонку ‘d(м)-горизонтальное проложение’, иначе горизонтальное проложение каждый раз перевычисляется.

Если в колонку Превышение были введены превышения вручную (как исходные данные), то они не перевычисляются.

Не перевычисляются они и при повторном нажатии на кнопку Рассчитать , если остались в этой колонке после предыдущих вычислений. Для повторных расчетов необходимо очистить соответствующую колонку.

Ввести в таблицу исходные данные либо вручную (пример), либо из ранее созданного файла исходных данных (пункт Открыть в меню Файл или кнопка Открыть на панели инструментов. При этом если предварительно был построен теодолитный(тахеометрический) ход, то при совпадении названия введенной точки с какой либо точкой хода ее координаты будут введены в таблицу автоматически. При необходимости введенные данные можно подкорректировать (важно: по окончании исправления ячейки таблицы необходимо нажать клавишу Enter).

Также исходные данные можно получить и ввести, используя библиотеку “GeoLoad.dll” (пункт Импорт в меню Файл или кнопка Импорт на панели инструментов).

После того, как данные были введены, выполняют вычисления на данной точке стояния (пункт Рассчитать в меню Измерения ).

Вычисления производят по формулам:

Для ввода данных для другой точки стояния необходимо перейти на закладку этой точки стояния(если она есть). Если закладка еще не создана, то для того чтобы создать ее надо увеличить количество станций и перейти на нужную станцию, (щелкнув на заголовке закладки, соответствующей станции).

Фактическое изменение данных в ячейках происходит только после того, как выбрана новая запись (перемещение стрелками, табуляция, щелчок мышкой и т.д. )

При ошибочном вводе исходных данных все окно можно почистить (кнопка Очистить данные панели инструментов или пункт Измерения/ Очистить данные в меню Измерения ) и ввести новые данные.

После ввода исходных данных их можно сохранить в файле формата *.tpr для повторного их использования в дальнейшем (пункт Сохранить как в меню Файл или кнопка Сохранить как панели инструментов).

Полученные результаты можно сохранить в виде расчетной ведомости. При этом результаты вычислений можно сначала просмотреть в «Word», а в дальнейшем эту ведомость можно сохранить или распечатать средствами Word. Для создания такой ведомости необходимо, чтобы был Шаблон для отчета. Выбор шаблона осуществляется в диалоге «Отчет по измерениям методом полярных координат» (меню Отчет или кнопка Создать отчет панели инструментов). Полученные точки можно нанести на пользовательскую карту (меню Карта или кнопка Нанести на карту панели инструментов). На карту наносятся те пикеты, которые имеют собственное имя (в колонке Имя).

Отчетная ведомость по данным прямой задачи создается как на одну, так и на все станции сразу.

Координаты и названия полученных точек будут храниться в памяти до закрытия основного диалогового окна Выполнение геодезических расчетов и могут использоваться в задачах Обратная геодезическая задача и Привязочные работы.

4.1.1 Способ полярных координат

Способ полярных координат заключается в том, что положение проектной точки на местности находится путем откладывания от исходного направления проектного угла, после чего в этом направлении откладывается проектное расстояние.

Геодезические работы в землеустройстве и земельном кадастре

1.1 ПОДГОТОВКА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ УТРАЧЕННОГО МЕЖЕВОГО ЗНАКА СПОСОБОМ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ

1. Последовательность работ (рисунок 1): в точке А откладывают проектный угол , а на полученном направлении АМ откладывают проектное расстояние d и получают плановое положение проектной точки М. Рисунок 1.

Геодезические работы в землеустройстве и земельном кадастре

1.4 ПОДГОТОВКА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ УТРАЧЕННОГО МЕЖЕВОГО ЗНАКА 5 C ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ПУНКТА P СПОСОБОМ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ

1. Определяют дирекционные углы линий , , , и длину линии , решив для этого обратные геодезические задачи по координатам знаков 3, 5, P. 2. Вычисляют угол построения и для контроля работ по восстановлению получают угол . (16) (17), где .

Геодезические работы в землеустройстве и земельном кадастре

6.1 ПОДГОТОВКА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ ДЛЯ РАЗБИВКИ НА МЕСТНОСТИ УГЛОВ МЕЖЕВОГО УЧАСТКА (ТОЧЕК M и N) СПОСОБОМ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ

1. При подготовке геодезических данных для выноса в натуру точек M и N, используют полученные в ходе проектирования участка длины выносимых сторон (длины сторон трапеции при проектировании), и дирекционные углы линий.

Геодезические работы в землеустройстве и земельном кадастре

6.1.1 Подготовка геодезических данных для разбивки на местности точки M с пункта 3 способом полярных координат

2. Определяют дирекционные углы линий , , , и длину линии , решив для этого обратные геодезические задачи по координатам знаков 3, 4, M. 3. Вычисляют угол построения и для контроля работ по восстановлению получают угол . (62), (63), где .

Геодезические работы в землеустройстве и земельном кадастре

6.1.2 Подготовка геодезических данных для разбивки на местности точки N с пункта 4 способом полярных координат

8. Определяют дирекционные углы линий , , , и длину линии , решив для этого обратные геодезические задачи по координатам знаков 3, 4, N. 9. Вычисляют угол построения и для контроля работ по восстановлению получают угол . (69), (70), где .

Геодезические работы при ведении кадастра

1.1 ВОССТАНОВЛЕНИЕ УТРАЧЕННЫХ МЕЖЕВЫХ ЗНАКОВ СПОСОБОМ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ

В качестве исходных данных представлены: схема восстановления утраченного межевого знака (рис. 1), координаты межевых знаков (табл. 1). Таблица 1.

Геодезические работы при ведении кадастра

4.1 ПОДГОТОВКА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ И РАСЧЕТ НЕОБХОДИМОЙ ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОСТОЕНИЙ ДЛЯ ВЫНОСА В НАТУРУ ГРАНИЦ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ СПОСОБОМ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ

Подготовлены геодезические данные, необходимые для выноса границы земельного участка в натуру, для чего решены обратные геодезические задачи: б1-4=60?39ґ58ґґ; б1-2=333?18ґ47ґґ; б2-3=62?14ґ30ґґ; с=174,23м; S2=174,39м. Рисунок 9.

Создание опорной межевой сети. Инженерно-геодезические работы при межевании земель

2.1 Восстановление утраченных межевых знаков способом полярных координат

строительный геодезический межевой знак Исходные данные: схема восстановления утраченного межевого знака (рисунок 2.1), координаты межевых знаков (таблица 2.1), масштаб кадастрового плана 1:2000. Рисунок 2.

Создание проекта планово-высотного обоснования для стереотопографической съемки в масштабе 1:5000 с высотой сечения рельефа 1 метр

1. Определение географических координат углов рамки исходной трапеции: У-41-84-Г-в-3.4. Определение номенклатуры и географических координат листов карты масштаба 1:5000, покрывающих исходную карту

Для реализации поставленной задачи прежде всего требуется определить географические координаты углов рамки исходной трапеции карты масштаба 1:25000, а также найти номенклатуры и географические координаты углов рамок трапеций карт масштаба 1:5000.

Составление технического проекта внутрихозяйственного землеустройства

2. Способ промеров.

Порядок и методика выполнения Для перенесения проекта в натуру необходимо выбрать наиболее простые способы, требующие наименьших затрат, и которые должны обеспечивать необходимую точность.

Составление топографической основы

6.1 Аналитический способ

Проектирование аналитическим способом заключается в вычислении проектных отрезков по заданной площади и по результатам измерений углов и линий на местности или по их функциям — координатам точек.

Створення глобальних мереж методами супутникової геодезії

2.3 Визначення координат пункту та ШСЗ в геоцентричній системі координат за результатами спостережень

Вихідною системою координат, в якій задається положення станції спостереження ШСЗ, є геодезична, що визначається прийнятим на даній території референц-еліпсоїдом. В цій системі координати точок земної поверхні задаються геодезичною широтою В.

Уравнивание геодезических сетей сгущения упрощенным способом

3.5 Уравнивание приращений координат и вычисление координат всех точек

Вычисления при уравнивании координат узловой точки приведены в таблице 9. Таблица 9 — Схема к вычислениям при уравнивании координат узловой точки.

Участки индивидуальной застройки определенной площади в пределах красных линий квартала

4.1.2 Способ прямоугольных координат

В основу способа положена разбивка проектной точки P от линии геодезической основы AB, чаще — от линии строительной сетки, полигонометрии или теодолитного хода (рис. 89) по прямоугольным координатам x и y относительно точки A.

2.1.6.3. Способ полярных координат

Способ полярных координат широко используется для выноса точек в натуру при любых формах разбивочных сетей. На ближайшем к сооружению пункте А (рис. 2.22) устанавливают теодолит, от стороны разбивочной сети строят угол и фиксируют направление на местности точкой .Затем в полученном направлении откладывают расстояние d и закрепляют положение разбиваемой точки Р. Значения горизонтального угла и расстояния находят из решения обратной геодезической задачи.

Средняя квадратическая погрешность разбивки точки способом полярных координат может быть предвычислена по формуле

, (2.28)

где и– средние квадратические погрешности построения угла и расстояния соответственно.

Рис. 2.22. Построение проектного направления способом полярных координат

2.1.6.4. Способ линейной засечки

Способ линейной засечки может быть использован, если расстояние от выносимой точки до пунктов разбивочной сети меньше длины мерного прибора. Положение на местности искомой точки Р получают на пересечении двух дуг, радиусы которых равны проектным расстояниям и до пунктов А и В разбивочной сети (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Построение точки способом линейной засечки

Точность построения точки Р способом линейной засечки может быть предвычислена по формуле

, (2.29)

где – угол засечки;и– средние квадратические погрешности отложения расстояний.

2.1.6.5. Способ проектного полигона

Способ проектного полигона применяют для выноса в натуру нескольких точек, если расстояния между ними не слишком велики. Из решения обратной геодезической задачи находят длины сторон , ии внутренние углы проектного полигона ,,и (рис. 2.24). Затем, откладывая углы и расстояния, последовательно находят положения точек В, C и D, которые вследствие погрешностей построения углов и расстояний не совпадут с проектными точками.

Рис. 2.24. Построение точек способом проектного полигона

В конечной точке D измеряют величину и магнитный азимут направления линейной невязки DD. Если невязка не превышает допустимого значения, то точки В, С и D с помощью линейки перемещают в проектное положение по направлению магнитного азимута DD на расстояния, пропорциональные их удалению от начала хода:

, .

Полученные точки закрепляют.

2.1.7. Основные элементы высотных разбивочных работ

2.1.7.1. Вынос точек с проектными отметками

Для выноса точек с проектными отметками используют методы геометрического, тригонометрического и гидростатического нивелирования. Метод геометрического нивелирования, обладающий высокой точностью и простотой реализации, имеет наибольшее распространение при строительстве. Метод тригонометрического нивелирования характеризуется меньшей точностью, однако этим методом можно значительно быстрее передавать отметки на монтажные горизонты. Гидростатическое нивелирование в строительстве используется обычно при выносе отметок под монтаж оборудования, когда превышения малы и предъявляются высокие требования к точности высотной разбивки.

Построение точек с проектными отметками методом геометрического нивелирования производят двумя способами: выведением и редуцированием.

Пусть требуется вынести на местность точку В с проектной отметкой НВ (рис. 2.25). Для выполнения этой задачи способом выведения посередине между точкой В и репером А с отметкой НA устанавливают нивелир. Производят отсчет а по рейке на репере и находят горизонт инструмента (визирования) НГВ = HА + а. Вычисляют отсчет b по рейке на точке В, при котором пятка рейки будет на проектном уровне b = HГВHB. Затем рейку устанавливают в точке В так, чтобы отсчет по ней был равен вычисленному значению b. На коле, забитом предварительно в точке B, под пяткой рейки карандашом фиксируют высотное положение искомой точки.

При монтаже конструктивных элементов и установке оборудования применяют способ редуцирования. В этом случае нивелированием из середины находят фактическое превышение точки В над репером и сравнивают его с проектным превышением. В точкеB укладывают подкладку толщиной , верх подкладки будет на заданной проектной отметке.

Рис. 2.25. Построение превышения методом геометрического нивелирования

Погрешность построения точек с проектными отметками методом геометрического нивелирования зависит от дальности визирования, точности нивелира и делений рейки, способа отсчитывания и других факторов. Экспериментальными исследованиями установлено, что погрешность измерения превышения составляет, мм:

= 0,02 + 0,002s – для прецизионного нивелира типа Н-05;

= 0,1 + 0,01s – для точного нивелира типа Ni-B3;

= 0,8 + 0,02s – для точного нивелира типа Н-3.

Расстояние s от нивелира до рейки в формулы подставляют в метрах. Оптимальная длина визирного луча составляет 25 м.

Точность способа выведения зависит от способа фиксации высоты разбиваемой точки: при забивании колышка до проектного уровня погрешность фиксации 2–4 мм, при прочерчивании по метке (пятке) рейки – 1 мм, при вывинчивании болта с резьбой – 0,1–0,5 мм.

При тригонометрическом нивелировании превышения вычисляют по измеренному расстоянию и углу наклона:

, (2.30)

где s и d – наклонное расстояние и соответствующее ему горизонтальное приложение; – угол наклона;I, высота прибора и визирной цели; f – суммарная поправка за кривизну Земли и рефракцию.

Наклонные расстояния обычно измеряют светодальномером, а горизонтальные проложения получают из измерений мерными приборами. Угол наклона измеряют со средней квадратической погрешностью 2–3 (теодолитом типа Т2) и 5« (теодолитом типа Т5К).

При использовании метода тригонометрического нивелирования необходимо с высокой точностью знать высоту теодолита I над пунктом разбивочной сети. Высота прибора может непосредственно измеряться с использованием рулетки или определяться косвенным путем с помощью нивелира и рейки.

При косвенном способе на расстоянии 2–3 м от пункта А разбивочной сети (рис. 2.26), на котором будет установлен теодолит, забивают кол или выбирают стабильную точку K. При помощи нивелира и рейки измеряют превышение h между пунктом А и точкой K. Затем над пунктом А устанавливают теодолит, приводят трубу в горизонтальное положение (отсчет по вертикальному кругу равен месту нуля М0) и делают отсчет b по рейке, установленной на точке K. Тогда высоту I теодолита можно получить из выражения

. (2.31)

Рис. 2.26. Косвенный способ определения высоты теодолита

Погрешность определения высоты косвенным способом составляет 0,3–0,5 мм.

Гидростатическое нивелирование обеспечивает построение превышений с погрешностью 0,01–0,05 мм (с помощью прецизионного нивелира) и 1–2 мм (с помощью технического нивелира). В первом случае диапазон измеряемых превышений составляет всего 25 мм.

В процессе гидростатического нивелирования следует избегать размещения приборов и шланга вблизи источников тепла и вентиляционных каналов, прямого попадания солнечных лучей, а также следует располагать шланги на уровне измерительных головок.

Полярные координаты

Помимо аффинной системы координат и её популярного частного случая – прямоугольной (декартовой) системы, существуют и другие подходы к построению координатной сетки плоскости и пространства. В частности, широкое распространение получила полярная система координат, которая невероятно удобна для решения целого спектра практических задач. И через считанные минуты, не успевши опомниться, вы уже будете уверенно ориентироваться в полярных координатах!

Полярная система координат

Чтобы определить полярную систему координат на плоскости, достаточно зафиксировать начало координат и задать единичный координатный вектор . Точка называется полюсом, а луч , сонаправленный с вектором – полярной осью. Графический шаблон – проще некуда, одна точка, один вектор, одна линия:

На практике вместо вектора можно где-нибудь в углу указать масштаб, например: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки). По возможности, старайтесь выбирать именно такую, удобную во многих отношениях метрику.

А теперь сама мякотка:

Полярный радиус и полярный угол точки

Любая отличная от начала координат точка плоскости однозначно определяется своим расстоянием от полюса и ориентированным углом между полярной осью и отрезком :

Для самого полюса , а угол не определён. Не напоминает ли это вам кое-что из темы Комплексные числа? 😉

Число называют полярным радиусом точки или первой полярной координатой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому полярный радиус любой точки . Первую полярную координату также обозначают греческой буквой («ро»), но я привык к латинскому варианту, и в дальнейшем буду использовать его.

Число называют полярным углом данной точки или второй полярной координатой. Полярный угол стандартно изменяется в пределах (так называемые главные значения угла). Однако вполне допустимо использовать диапазон , а в некоторых случаях и вовсе возникает прямая необходимость рассмотреть все значения угла от нуля до «плюс бесконечности». Рекомендую, кстати, привыкнуть к радианной мере угла, поскольку оперировать градусами в высшей математике считается не комильфо.

Пару называют полярными координатами точки . Из легко найти и их конкретные значения. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету: , следовательно, сам угол: . По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: , значит, полярный радиус:

Различные точки в полярных координатах

Один пингвин хорошо, а стая – лучше :

Отрицательно ориентированные углы я на всякий случай отметил стрелками, вдруг кто-то из читателей ещё не знал об этой ориентации. При желании можно «прикрутить» к каждому из них 1 оборот ( рад. или 360 градусов) и получить, к слову, удобные табличные значения:

Но недостаток этих «традиционно» ориентированных углов состоит в том, что они слишком далеко (более чем, на 180 градусов) «закручены» против часовой стрелки. Предчувствую вопрос: «почему недостаток и зачем вообще нужны какие-то отрицательные углы?» В математике ценятся самые короткие и рациональные пути. Ну а уж с точки зрения физики направление вращения зачастую имеет принципиальное значение – каждый из нас пытался открыть дверь, дёргая ручку не в ту сторону =)

Порядок и техника построения точек в полярных координатах

Красивые картинки красивы, однако построение в полярной системе координат – занятие достаточно кропотливое. Трудностей не возникает с точками, у которых полярные углы составляют , в нашем примере это точки ; особых хлопот также не доставляют значения, кратные 45 градусам: . Но как правильно и грамотно построить, скажем, точку ?

Потребуется клетчатый листок бумаги, карандаш и следующие чертёжные инструменты: линейка, циркуль, транспортир. В крайнем случае, можно обойтись одной линейкой, а то… и вовсе без неё! Читайте дальше и вы получите ещё одно доказательство, что эта страна непобедима =)

Построить точку в полярной системе координат.

Прежде всего, нужно выяснить градусную меру угла . Если угол малознаком или вас есть сомнения, то всегда лучше воспользоваться таблицей либо общей формулой перевода радианов в градусы. Итак, наш угол составляет (или ).

Начертим полярную систему координат (см. начало урока) и возьмём в руки транспортир. Обладателям круглого инструмента не составит труда отметить 240 градусов, но с большой вероятностью у вас на руках будет полукруглая версия девайса. Проблема полного отсутствия транспортира при наличии принтера и ножниц решается рукоделием.

Откладываем полярный угол с помощью транспортира

Есть два пути: перевернуть листок и отметить 120 градусов, либо «прикрутить» пол оборота и рассмотреть противоположный угол . Выберем взрослый способ и сделаем отметку в 60 градусов:

То ли транспортир лилипутский, то ли клетка гигантская =) Впрочем, чтобы отмерить угол масштаб не важен.

Проводим карандашом тонкую прямую, проходящую через полюс и сделанную отметку:
Чертим направление полярного угла
С углом разобрались, на очереди полярный радиус. Берём циркуль и по линейке устанавливаем его раствор в 3 единицы, чаще всего, это, конечно же, сантиметры:
Откладываем полярный радиус с помощью циркуля
Теперь аккуратно устанавливаем иглу на полюс, и вращательным движением выполняем небольшую засечку (красный цвет). Искомая точка построена:
Искомая точка построена
Можно обойтись без циркуля, приложив линейку непосредственно к построенной прямой и отмерив 3 сантиметра. Но, как мы увидим позже, в задачах на построение в полярной системе координат типична ситуация, когда нужно отметить две или бОльшее количество точек с одним и тем же полярным радиусом, поэтому эффективнее закалять металл. В частности, на нашем чертеже, развернув ногу циркуля на 180 градусов, легко сделать вторую засечку и построить симметричную относительно полюса точку . На ней давайте и отработаем материал следующего параграфа:

Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат

Переход от полярных координат к декартовым координатам и наоборот

Очевидным образом присоединим к полярной системе координат «школьную» систему и изобразим на чертеже точку :

Такое присоединение всегда полезно держать в голове, когда выполняете чертёж в полярных координатах. Хотя, волей-неволей оно напрашивается и без лишнего намёка.

Установим взаимосвязь полярных и декартовых координат на примере конкретной точки . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором гипотенуза равна полярному радиусу: , а катеты – «иксовой» и «игрековой» координатам точки в декартовой системе координат: .

Синус острого угла – есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла – есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Заодно повторили определения синуса, косинуса (и чуть ранее тангенса) из программы 9 класса общеобразовательной школы.

Пожалуйста, занесите в свой справочник рабочие формулы , выражающие декартовы координаты точки через её полярные координаты – с ними нам придётся столкнуться ещё неоднократно, и в следующий раз прямо сейчас =)

Найдём координаты точки в прямоугольной системе координат:

Полученные формулы открывают ещё одну лазейку в задаче построения, когда можно обойтись вообще без транспортира: сначала находим декартовы координаты точки (понятно, на черновике), затем мысленно находим нужное место на чертеже и отмечаем данную точку. На заключительном этапе проводим тонкую прямую, которая проходит через построенную точку и полюс. В результате получается, что угол якобы был отмерян транспортиром.

Забавно, что совсем отчаянные студенты, могут обойтись даже без линейки, используя вместо неё ровный край учебника, тетради или зачётной книжки – ведь о метрике позаботились производители тетрадей, 1 клетка = 5 миллиметров.

Напомнило мне всё это известный анекдот, в котором находчивые лётчики прокладывали курс по пачке Беломора =) Хотя, шутки шутками, а анекдот не так далёк от реальности, помнится, на одном из внутренних рейсов по РФ в лайнере отказали все навигационные приборы, и экипаж успешно посадил борт при помощи обычного стакана с водой, который показывал угол наклона самолёта относительно земли. А лётная полоса – вот она, из лобового стекла виднА.

Используя процитированную в начале урока теорему Пифагора, легко получить и обратные формулы: , следовательно:

Сам угол «фи» стандартно выражается через арктангенс – абсолютно так же как и аргумент комплексного числа со всеми его заморочками.

Вторую группу формул также целесообразно поместить в свой справочный багаж.

После подробного разбора полётов с отдельно взятыми точками перейдём к закономерному продолжению темы:

Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «обнаруживает» (прорисовывает) линию.

Хрестоматийная линия – спираль Архимеда

Дежурным примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :

Далее, пересекая полярную ось в точке , спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне .

В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы здесь рассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:

Уравнение вида задаёт исходящий из полюса луч. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс

Уравнение вида определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса .

Например, . Для наглядности найдём уравнение данной линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную в предыдущем параграфе формулу , проведём замену:

Возведём обе части в квадрат:

уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

Со времён создания и релиза статьи о линейной зависимости и линейной независимости векторов я получил несколько писем от посетителей сайта, которые задавали вопрос в духе: «вот есть простая и удобная прямоугольная система координат, зачём нужен ещё какой-то косоугольный аффинный случай?». Ответ прост: математика стремится объять всё и вся! Кроме того, в той или иной ситуации немаловажно удобство – как видите, с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения .

А иногда математическая модель предвосхищает научные открытия. Так, в своё время ректор Казанского университета Н.И. Лобачевский строго доказал, через произвольную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В результате он был ошельмован всем научным миром, но… опровергнуть данный факт никто не смог. Только спустя доброе столетие астрономы выяснили, что свет в космосе распространяется по кривым траекториям, где и начинает работать неевклидова геометрия Лобачевского, формально разработанная им задолго до этого открытия. Предполагается, что это свойство самого пространства, кривизна которого нам незаметна ввиду малых (по астрономическим меркам) расстояний.

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот, я советую более быстрый и наглядный метод решения:

Представьте график косинуса. Если он ещё не успел отложиться в памяти, то найдите его на странице Графики элементарных функций. О чём нам сообщает неравенство ? Оно сообщает нам о том, что график косинуса должен располагаться не ниже оси абсцисс. А это происходит на отрезке . И, соответственно, интервал не подходит.

Таким образом, область определения нашей функции: , то есть график расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или иное уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла. Для бОльшей ясности к отрицательным значениям я буду «прикручивать» один оборот:

В силу чётности косинуса соответствующие положительные значения можно заново не считать:

Поточечное построение линии в полярных координатах

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной выше технологии:

В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме. Обе части уравнения искусственно домножаем на «эр»: и используем более компактные формулы перехода :

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение линии к узнаваемому виду:

уравнение окружности с центром в точке , радиуса 2.

Окружность в полярной системе координат

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией:

Готово. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка ? Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции нас ждёт бесконечный бег по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке . Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси и обязательно проходят через полюс. Если же , то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Построить линию и найти её уравнение в прямоугольной системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

В первую очередь находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду, чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце урока.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем
и существенно ускорим во второй части лекции, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

Полярная роза

Совершенно верно, речь пойдёт о цветке с лепестками:

Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах

Существует два подхода к построению полярной розы. Сначала пойдём по накатанной колее, считая, что полярный радиус не может быть отрицательным:

Решение:

а) Найдём область определения функции:

Такое тригонометрическое неравенство тоже нетрудно решить графически: из материалов статьи Геометрические преобразования графиков известно, что если аргумент функции удвоить, то её график сожмётся к оси ординат в 2 раза. Пожалуйста, найдите график функции в первом же примере указанного урока. Где данная синусоида находится выше оси абсцисс? На интервалах . Следовательно, неравенству удовлетворяют соответствующие отрезки, и область определения нашей функции: .

Вообще говоря, решение рассматриваемых неравенств представляет собой объединение бесконечного количества отрезков, но, повторюсь, нас интересует только один период.

Возможно, некоторым читателям более лёгким покажется аналитический способ нахождения области определения, условно назову его «нарезка круглого пирога». Резать будем на равные части и, прежде всего, найдём границы первого куска. Рассуждаем следующим образом: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от 0 до рад. включительно. В нашем примере: . Разделив все части двойного неравенства на 2, получаем искомый промежуток:

Теперь начинаем последовательно «нарезать равные куски по 90 градусов» против часовой стрелки:

– найденный отрезок , понятно, входит в область определения;

– следующий интервал – не входит;

– следующий отрезок – входит;

– и, наконец, интервал – не входит.

Прямо, как по ромашке – «любит, не любит, любит, не любит» =) С тем отличием, что тут не гадание. Да, прямо какая-то любовь по-китайски получается….

Итак, и линия представляет собой розу с двумя одинаковыми лепестками. Чертёж вполне допустимо выполнить схематически, однако крайне желательно правильно найти и отметить вершины лепестков. Вершинам соответствуют середины отрезков области определения, которые в данном примере имеют очевидные угловые координаты . При этом длины лепестков составляют:

Двухлепестковая роза в полярной системе координат

Вот закономерный результат заботливого садовника:

Следует отметить, что длину лепестка легко сразу усмотреть из уравнения – так как синус ограничен: , то максимальное значение «эр» заведомо не превзойдёт двух.

б) Построим линию, заданную уравнением . Очевидно, что длина лепестка этой розы тоже равна двум, но, прежде всего, нас интересует область определения. Применим аналитический метод «нарезки»: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от нуля до «пи» включительно, в данном случае: . Делим все части неравенства на 3 и получаем первый промежуток:

Далее начинаем «нарезку пирога кускам» по рад. (60 градусов):
– отрезок войдёт в область определения;
– интервал – не войдёт;
– отрезок – войдёт;
– интервал – не войдёт;
– отрезок – войдёт;
– интервал – не войдёт.

Процесс успешно завершён на отметке 360 градусов.

Таким образом, область определения: .

Проводимые действия полностью либо частично несложно осуществлять и мысленно.

Построение. Если в предыдущем пункте всё благополучно обошлось прямыми углами и углами в 45 градусов, то здесь придётся немного повозиться. Найдём вершины лепестков. Их длина была видна с самого начала задания, осталось вычислить угловые координаты, которые равны серединам отрезков области определения:

Обратите внимание, что между вершинами лепестков должны обязательно получиться равные промежутки, в данном случае 120 градусов.

Трёхлепестковая роза в полярной системе координат

Чертёж желательно разметить на 60-градусные секторы (отграничены зелёными линиями) и провести направления вершин лепестков (серые линии). Сами вершины удобно наметить с помощью циркуля – единожды отмерять расстояние в 2 единицы и нанести три засечки на прочерченных направлениях в 30, 150 и 270 градусов:

Готово. Понимаю, что занятие хлопотное, но если хотите всё оформить по уму, то придётся потратить время.

Сформулируем общую формулу: уравнение вида , – натуральное число), задаёт полярную -лепестковую розу, длина лепестка которой равна .

Например, уравнение задаёт четырёхлистник с длиной лепестка в 5 единиц, уравнение – 5-лепестковую розу с длиной лепестка в 3 ед. и т. д.

О втором подходе я хотел вообще умолчать, однако не могу пройти мимо – уж слишком он распространён. Суть состоит в том, что полярная роза часто рассматривается в обобщённых полярных координатах, где полярный радиус может быть отрицательным. Вопрос области определения отпадает, но появляются другие приколы.

Во-первых, разберёмся, как строить точки с отрицательным значением «эр». Если , то нужно мысленно найти точку с таким же углом, но радиуса и отобразить её симметрично относительно полюса. Вернёмся к первой полярной розе и рассмотрим интервал , на котором полярный радиус отрицателен. Как, например, изобразить точку ? Мысленно находим точку (левый верхний сектор) и отображаем её симметрично относительно полюса в точку . Таким образом, когда угол принимает значения из интервала , то прорисовывается ещё один лепесток в правом нижнем секторе:
В обобщенной полярной системе координат лепесток с отрицательным полярным радиусом отображаем симметрично из левого верхнего сектора – в правый нижний
И, соответственно, когда угол проходит значения , то прорисовывается 4-й лепесток в противоположном (левом верхнем) секторе:
И наоборот, из правого нижнего сектора – в левый верхний
Интересно отметить, что при таком подходе вторая полярная роза сохраняет своё количество лепестков. А происходит это по одной простой причине: когда угол проходит пустующие секторы (ещё раз посмотрите на чертёж!), то полярный радиус принимает отрицательные значения и из этих пустых секторов точки отображаются напротив, ровнёхонько накладываясь на «легальные» лепестки.

Сформулируем правило розы для обобщенной системы координат: уравнение вида , – натуральное) задаёт полярную розу с длиной лепестка , при этом:

1) если — чётное, то роза имеет ровно лепестков;
2) если — нечётное, то роза имеет ровно лепестков.

Например, роза имеет 8 лепестков, роза – пять лепестков, роза – 12 лепестков, роза – 7 лепестков и т. д.

А почему закономерность столь необычна, я только что проиллюстрировал геометрически.

Какой способ выбрать, решать вам, …но я бы не особо рекомендовал использовать обобщенные полярные координаты – у преподавателя могут появиться дополнительные вопросы на счет отрицательных значений полярного радиуса (а то и вообще всё будет забраковано по этой причине)

Короткая задача для самостоятельного решения:

Построить линии, заданные уравнением в полярных координатах

Сформулировать общее правило о количестве и длине лепестков полярной розы вида , – натуральное)

В моём образце решение проведено 1-м способом. Повторим порядок действий:

– Сначала находим область определения. При этом для лучшего понимания своих действий рекомендую соотносить аналитический способ «нарезки» с графической интерпретацией. По материалам урока Геометрические преобразования графиков выясните, как выглядят, и при необходимости начертите графики функций .

– Находим угловые координаты вершин лепестков – они расположены ровно посередине промежутков области определения.

– Выполняем чертёж. Пойдёт схематическая версия, однако желательно разметить найденные секторы и угловые направления вершин лепестков (в случае необходимости – с помощью транспортира). Вершины удобно засекать циркулем, предварительно установив раствор, равный длине лепестка.

Существуют более солидные и общие формулы окружности, полярной розы и желающие могут с ними ознакомиться в других источниках информации. Я лишь ограничился практически значимыми (с моей точки зрения) примерами.

Предлагаю перейти ко 2-й части занятия под названием Как построить линию в полярной системе координат?, где мы продолжим рассматривать типовые задачи, и усовершенствуем свои навыки.

Решения и ответы:

Окружность, выраженная через синус полярного угла

Пример 3. Решение: найдём область определения:

Вычислим полярные координаты точек, принадлежащих данной линии:

Выполним чертёж:

Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:

Проведём замены :

Выделим полный квадрат:

– окружность с центром в точке (координаты декартовы!) радиуса .

Дополнительная информация: уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке .

Пример 5. Решение:
а) Найдём область определения: косинус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от до рад. включительно. В данном случае: . Или:
.
Таким образом:
– отрезок принадлежит области определения;
– интервал – не принадлежит;
– отрезок – принадлежит;
– интервал – не принадлежит.
Область определения: .
Роза имеет два лепестка, вершины которых находятся на полярной оси и её продолжении, длина лепестка равна :
Двулистник в полярных координатах, выраженный через косинус
б) область определения: . Роза имеет три лепестка единичной длины с вершинами, имеющими следующие угловые координаты:

Выполним чертёж:
Трёхлистник в полярных координатах, выраженный через косинус
Уравнение вида , – натуральное), задаёт полярную
-лепестковую розу, длина лепестка которой равна . Если рассматривается обобщенная полярная система координат, то при чётном значения «ка» количество лепестков удваивается.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *