Что такое вес в геодезии
Перейти к содержимому

Что такое вес в геодезии

  • автор:

Что такое вес в геодезии

14. Веса функций измеренных величин

Если известны веса аргументов функции, то можно найти и вес самой функции.

Для различных видов функций можно вывести формулы, по которым определяют веса этих функций.

При k=1 согласно формуле (67) поэтому

(76)

Величину 1/р называют обратным весом.

Рассмотрим различные виды функций и получим для них формулы весов.

1. Функция общего вида

.

Для ее эмпирической дисперсии известна формула (39). Заменив в ней дисперсии соответствующими обратными весами, согласно формуле (76) получим

(77)

2. Линейные функции

Так как для этой функции то из формулы (77) следует

(78)

Согласно формуле (78)

(79)

Здесь поэтому

(80)

В случае равноточных измерений, т. е. при p1=p2=…=pn=p, 1/ откуда

(81)

Пример 1: Найти вес произведения 2β, если вес угла β равен единице. Согласно формуле (79) откуда

Пример 2: . Найти вес среднего арифметического, считая вес одного измерения равным единице.

Запишем формулу среднего арифметического в виде

На основании формулы (78) обратного веса линейной функции

Так как p1=p2=…=pn=1, то получим равенство (70) P=n.

Пример 3: Найти вес дирекционного угла n-й стороны теодолитного хода, вычисленного по формуле считая дирекционный угол точным, а вес каждого измеренного угла равным k.

На основании формулы (81) получим выражение (72):

Материалы по темам:

  • Територіальний землеустрій
  • Территориальное землеустройство
  • Устройство территории
  • Землеустроительное проектирование
  • Точное земледелие
  • Земельні відносини
  • Геодезия
  • Экспертная оценка
  • Характеристика населенных пунктов
  • Земельный кадастр
  • Математическая обработка геодезических измерений

Основи картографії

  • Картографія
  • Геодезична і математична основа карт
  • Зображення елементів змісту карт
  • Картоскладальні роботи
  • Видання карти
  • Цифрова карта
  • Геодезичні мережі
  • ГИС-технологии

2.5 Веса измерений и их свойства. Веса функций

Обработку неравноточных измерений данных нельзя производить по формулам равноточных измерений, т.к. более точные измерения, очевидно, должны оказывать и большее влияние на окончательный результат.

Различная точность измерений учитывается при совместной обработке их результатов путем введения вспомогательных величин, называемых весами. Чем надежнее результат измерения, тем меньше соответствующая ему средняя квадратическая погрешность и тем больше его вес. Вес – это величина, обратно пропорционалъная квадрату средней квадратической погрешности, характеризующей результат данного измерения:

р = (32)

где k – произвольно выбранное число.

Свойства весов:

1 Вес – понятие относительное, т.е. он не имеет размера.

2 Все веса можно увеличивать или уменьшать в одно и то же количество раз.

3 Веса можно учитывать только сравнивая их друг с другом.

Понятие веса применимо и для любой функции F измеренных величин. Вес рF функции F при известной её средней квадратической погрешности mF вычисляют по формуле

рF = (33)

Средние квадратические погрешности неравноточных результатов не дают общей характеристики точности полученных результатов. В этом случае пользуются средней квадратической погрешностью единицы веса , т.е. погрешностью результата с весом, равным единице

р0 = 1 = (34)

Установим связь между средней квадратической погрешностью единицы веса  и средней квадратической погрешностью m результата измерения с весом р = . Отношение весов , откуда

, (35)

т.е. средняя квадратическая погрешность единицы веса  равна средней квадратической погрешности результата измерения, умноженной на квадратный корень из его веса. Если имеется ряд неравноточных измерений с весами р1, р2, …, рn и средними квадратическими погрешностями m1, m2, … , mn, то для каждого результата погрешности единицы веса будут:

,

,

.

Среднее квадратическое значение из этого ряда будет

2 = , откуда

= (36)

Если заменить квадраты средних квадратических погрешностей m квадратами истинных  или квадратами вероятнейших ошибок V, то формула (36) примет вид

= (37)

2.6 Математическая обработка неравноточных

измерений одной и той же величины

При неравноточных измерениях в качестве вероятнейшего значения принимают среднее весовое. Вероятнейшее значение величины, полученное из ряда неравноточных результатов, называют общей арифметической серединой.

Для определения в этом случае в качестве общего результата арифметической середины пользуются формулой

L0 = (38)

Порядок математической обработки следующий.

1. Определяют веса результатов измерений. Если уравнивают превышения, то веса определяют по формуле: рi = , где Li – длина ходов в км. Если же уравнивают приращения координат, то р = , где  S — длина хода в км.

2. Имея веса, находят наиболее надежное значение измеренной величины, т.е. среднее весовое из результатов измерений по формуле (38). Для упрощения вычислений используют приближенное значение l0 (фиктивное среднее). Тогда среднее весовое находим по формуле

LB = l0 + (39)

где i = li – l0 – уклонение от фиктивного среднего.

3. Вычисляют поправки V:

Контроль вычислений рV = 0 (41)

4. Определяют рV 2  и рV.

Контроль рV 2  = — рV (42)

5. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность единицы веса, т.е. того результата, вес которого равен единице

(43)

6. Находят СКП общей арифметической середины (среднего весового)

МВ = (44)

Веса результатов измерения

рактеризуется соответственно квадратами среднеквадратических погрешностей mf, т%, . т^. Тогда вес z-oro результата измерения может быть рассчитан по формуле:

Так как вес — относительная характеристика точности, то понятие веса не применимо к одному отдельно взятому измерению. Можно приписать любой вес результату единичного измерения, но этот факт еще не о чем не говорит. Вес показывает, во сколько раз разброс одного измерения больше или меньше другого. Но здесь необходимо помнить, что под разбросом одного измерения следует понимать разброс серии измерений, выполняемых в одинаковых условиях. Тогда, чем больше вес одного результата измерения, тем точнее это измерение по сравнению с другими.

Выбирая различные значения к в (8.20), тем самым увеличиваем (уменьшаем) в одно и тоже число раз веса всех результатов измерений lv /2. 1п, но при этом остается неизменным соотношение весов отдельных результатов измерений.

Можно вывести следующие соотношения:

р, = —у => к = р. • т ;

Из данных равенств следует, что

Последнее равенство позволяет произвести расчет любой неизвестной четвертой величины, например:

Выберем к так, чтобы вес одного из измерений р; = 1. Тогда получаем:

к = 1-mJ = т 2 .

Квадрат СКП величины, обладающей единичным весом, обычно обозначают ц 2 .Тогда к = т 2 = ц 2 , и верно соотношение:

В геодезической практике величину ц называют «СКП единицы веса», понимая под этим «среднеквадратическую погрешность величины, вес которой равен единице».

Как следует из формулы (8.21), выбор величины к определяет выбор величины с единичным весом.

Пример 8.4. Пусть имеется две величины, характеризуемые СКП т1 = 30″ и т2 = 1″. Вычислить веса этих результатов измерений.

Примем для расчета весов к — 400. Тогда веса заданных величин будут

а в качестве величины, обладающей единичным весом, выступает угол, точность измерения которого характеризуется СКП, равным 20″, что вытекает из следующих соображений: к = т 2 => ц = Jk = 20″.

§ 28. Понятие о весе результата измерения

До сих пор мы говорили о результатах измерений, точность которых (степень доверия к ним) была одинаковая, весьма близкая по величине. Строго говоря, в природе измерений не существует равноточных величин. Обеспечить это весьма сложно, да во многих случаях и нет в этом необходимости. К равноточным измерениям можно отнести все результаты, погрешности которых не выходят за пределы допустимой величины, например, двойной средней квадратической погрешности.

Часто приходится иметь дело с разнородными величинами. Например, при выполнении геодезических измерений использовать результаты длин линий, которые значительно отличаются по величине, либо измерены разными по точности приборами, либо однородные величины в группе измерены равноточно, но с разным числом измерений в группах и т.п. В этом случае, при оценке точности, говорят о неравноточных измерениях.

Если в качестве веса результата измерения взять число, которое характеризует точность, то по смыслу слова вес можно сказать, что, чем больше вес результата, тем выше его точность (тем меньше погрешность, с которой получен данный результат). Т.е. вес находится в обратно пропорциональной зависимости от погрешности результата. Пусть точность измерения какойлибо величины характеризуется средней квадратической погрешностью m , тогда вес Р определяют как отношение

Значение с может быть любым, кроме нуля, но для анализируемой группы результатов измерений его принимают равным примерно среднему значению m по группе, поэтому значения весов результатов измерений не будут слишком большими или слишком маленькими.

Очевидно, что величина СКП зависит от числа измерений, а это значит, что от числа измерений зависит и вес: чем с большим числом измерений получен тот или иной результат, тем больше его вес.

Уже при обработке ряда равноточных измерений мы сталкивались с результатами, имеющими разный вес. Если принять за единичный вес результат одного измерения, то среднее арифметическое будет получено с б о льшим

весом, причем вес его будет в n раз больше, чем вес результата одного измерения.

Предположим, что при равноточных измерениях одной и той же величины Х (заранее неизвестной) выполнено три серии по n i наблюдений в каждой:

n 1 , n 2 , n 3 , причем n 1 > n 2 > n 3 . Примем значение с 2 в формуле (3.37) равным n 1 . Поскольку значение СКП обратно пропорционально корню квадратному из

числа измерений, то квадрат СКП будет обратно пропорционален числу измерений. В связи с этим формулу (3.37) можно переписать в виде

где n o = с .

В рассматриваемом случае Р 1 = 1, Р 2 = n 2 /n 1 , Р 3 = n 3 /n 1 . Это говорит о том, что серии измерений неравноточны между собой.

Обозначим результаты измерений в сериях 1, 2 и 3 как x 1i , x 2i , x 3i и вычислим средние арифметические значения измеренной величины в каждой

из серий: x 1о , x 2о и x 3о по формуле (3.14).

Для всей группы измерений значение арифметической середины x о определится с учетом их весов из выражения

x 1 o P 1 + x 2 o P 2 + x 3 o P 3

Аналогичная формула получится и для случая n серий измерений.

Из формулы (3.39) следует, что вес арифметической середины равен сумме весов всех измерений, входящих в серии.

Веса всех измерений можно изменить в одинаковое число раз. От этого значение арифметической середины не изменится. Т.е. в качестве n o можно взять и другое число, отличное от n 1 , n 2 и n 3 . Это число ( с , n o и др.) называют

Для оценки весов неравноточных измерений или групп неравноточных измерений используют различные приемы. Так, если известны средние квадратические погрешности в группах измерений, то в качестве единицы веса может быть выбрана любая из известных СКП, либо примерно среднее ее значение. Вес результата измерения в группе в этом случае определится по формуле (3.37).

В некоторых случаях в качестве единицы веса используют число измерений в группе. Даже если предположить, что каждая из величин в каждой из групп измеряется равноточно, то при разных числах измерений в группе образуются результаты средних арифметических, неравноточных между собой. Здесь приемлемо использовать для вычисления весов формулу (3.38).

В качестве погрешности единицы веса может выступать и, например, измеряемое расстояние, если погрешность его определения функционально зависит от его величины (практически это и имеет место). В зависимости от вида указанной функции единицей веса может быть как непосредственно длина линии, так и корень квадратный из длины линии.

При измерении горизонтальных углов на местности в некоторых случаях в качестве единицы веса направления (отсчета по горизонтальному кругу теодолита ) используют величину этого направления, поскольку погрешность направления зависит от погрешности установки оси теодолита над вершиной измеряемого угла ( погрешность центрирования ). Чем короче расстояние (сторона угла), тем больше погрешность направления (прямая пропорциональная зависимость). В этом случае в качестве единицы веса при вычислении весов направлений следует брать квадрат длины стороны.

§ 29. Средняя квадратическая погрешность единицы веса и арифметической середины

Средняя квадратическая погрешность единицы веса μ характеризует погрешность результата измерения, вес которого равен единице.

В этом случае формулу (3.37) можно представить в виде

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *